Find the value of $$\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7\sqrt{7}}}}}}$$

$$\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7}}}}}}=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7.\ 7^{\frac{\ 1}{2}}}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7^{1+\frac{\ 1}{2}}}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7^{\ \frac{\ 3}{2}}}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7.\ \ 7^{\ \frac{\ 3}{4}}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7^{\ \frac{\ 7}{4}}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7.\ \ 7^{\ \frac{\ 7}{8}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7^{\ \frac{\ 15}{8}}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7.\ 7^{\ \frac{\ 15}{16}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7\sqrt{\ 7^{\ \frac{\ 31}{16}}}}$$

$$=\sqrt{\ 7.\ 7^{\ \frac{\ 31}{32}}}$$

$$=\sqrt{\ 7^{\ \frac{\ 63}{32}}}$$

$$=7^{\ \frac{ 63}{64}}$$