The function $$f(x) = x^3 - 6x^2 + ax + b$$ is such that $$f(2) = f(4) = 0$$. Consider two statements:
$$S_1$$: there exists $$x_1, x_2 \in (2, 4)$$, $$x_1 \lt x_2$$, such that $$f'(x_1) = -1$$ and $$f'(x_2) = 0$$.
$$S_2$$: there exists $$x_3, x_4 \in (2, 4)$$, $$x_3 \lt x_4$$, such that $$f$$ is decreasing in $$(2, x_4)$$, increasing in $$(x_4, 4)$$ and $$2f'(x_3) = \sqrt{3}f(x_4)$$. Then

हमारे पास घात बहुपद

$$f(x)=x^{3}-6x^{2}+ax+b$$

दिया हुआ है तथा $$f(2)=0,\;f(4)=0$$। इसका अर्थ है कि $$x=2$$ एवं $$x=4$$ इस बहुपद के शून्य (roots) हैं। अतः

$$f(x)=(x-2)(x-4)(x-\alpha)$$

जहाँ $$\alpha$$ तीसरा शून्य है। पहले दो को गुणा करते हैं

$$(x-2)(x-4)=x^{2}-6x+8.$$

अब

$$f(x)=(x^{2}-6x+8)(x-\alpha)=x^{3}-(\alpha+6)x^{2}+(6\alpha+8)x-8\alpha.$$

मूल बहुपद के साथ पदानुक्रम तुलना करने पर

$$x^{3}-6x^{2}+ax+b=x^{3}-(\alpha+6)x^{2}+(6\alpha+8)x-8\alpha.$$

$$x^{2}$$ वाले पद के गुणांक बराबर रखने से

$$-(\alpha+6)=-6\;\Longrightarrow\;\alpha+6=6\;\Longrightarrow\;\alpha=0.$$

इस प्रकार

$$f(x)=x(x-2)(x-4)=x^{3}-6x^{2}+8x.$$

इससे स्पष्ट है कि $$a=8,\;b=0$$।

अब साथ में अवकलज निकालते हैं। सूत्र $$\dfrac{d}{dx}(x^{n})=nx^{n-1}$$ से

$$f'(x)=3x^{2}-12x+8.$$

आगे दोनों कथनों की जाँच करते हैं।

कथन $$S_{1}$$ की जाँच : हमें $$x_{1},x_{2}\in(2,4)$$, $$x_{1}\lt x_{2}$$ ऐसे ढूँढने हैं कि $$f'(x_{1})=-1$$ तथा $$f'(x_{2})=0$$।

सर्वप्रथम $$f'(x)=0$$ हल करते हैं -

$$3x^{2}-12x+8=0 \;\Longrightarrow\; x=\dfrac{12\pm\sqrt{144-96}}{6} =\dfrac{12\pm\sqrt{48}}{6} =\dfrac{12\pm4\sqrt3}{6} =2\pm\dfrac{2}{3}\sqrt3.$$

संख्या $$2-\dfrac23\sqrt3\approx0.845$$ है, जो $$2$$ से कम है, पर

$$x_{2}=2+\dfrac23\sqrt3\approx3.155\in(2,4).$$

इसलिए $$x_{2}$$ मौजूद है और $$f'(x_{2})=0$$।

अब $$x=2$$ पर

$$f'(2)=3(2)^{2}-12(2)+8=12-24+8=-4,$$

और $$x_{2}\approx3.155$$ पर $$f'(x_{2})=0$$। चूँकि $$f'$$ सतत है, इंटरमीडिएट वैल्यू थिऔरम से $$-4$$ और $$0$$ के बीच की प्रत्येक मान, विशेषकर $$-1$$, भी किसी बिन्दु पर लेती है। अतः कोई $$x_{1}\in(2,x_{2})$$ ऐसा मिलेगा कि

$$f'(x_{1})=-1.$$

इस प्रकार $$S_{1}$$ सत्य है।

कथन $$S_{2}$$ की जाँच : पहले $$f'(x)$$ का चिह्न देखें। इसके दो शून्य हमने ऊपर निकाले - $$0.845$$ और $$3.155$$। चूँकि गुणांक $$3\gt 0$$ है, अवकलज

$$f'(x)\gt 0\quad\text{for }x\lt0.845,$$

$$f'(x)\lt0\quad\text{for }0.845\lt x\lt3.155,$$

$$f'(x)\gt0\quad\text{for }x\gt3.155.$$

अतः $$x_{4}=2+\dfrac23\sqrt3\approx3.155\in(2,4)$$ पर $$f'(x_{4})=0$$ तथा

$$f(x)$$ घटता है $$\bigl(2,x_{4}\bigr)$$ में, और बढ़ता है $$\bigl(x_{4},4\bigr)$$ में, जैसा कि कथन माँगता है।

अब हमें किसी $$x_{3}\in(2,x_{4})$$ के लिए सत्यापित करना है

$$2f'(x_{3})=\sqrt3\,f(x_{4}).$$

पहले $$f(x_{4})$$ निकालते हैं।

$$x_{4}=2+k,\quad k=\dfrac23\sqrt3.$$

$$f(x)=x(x-2)(x-4)$$ से

$$f(x_{4})=(2+k)\,k\,(k-2).$$

क्योंकि $$0\lt k\approx1.155\lt2,$$ हमें ज्ञात है $$k-2\lt0,$$ अतः $$f(x_{4})\lt0.$$ करीबन मान लगाने पर

$$f(x_{4})\approx3.1547\times1.1547\times(-0.8453)\approx-3.078.$$

अतः

$$\frac{\sqrt3}{2}f(x_{4})\approx\frac{1.732}{2}\times(-3.078)\approx-2.666.$$

दूसरी ओर, $$x\in(2,x_{4})$$ में $$f'(x)$$ का मान $$-4$$ से $$0$$ के बीच निरन्तर चलता है। इस श्रेणी में $$-2.666$$ अवश्य आता है। अतः इंटरमीडिएट वैल्यू थिऔरम से कोई $$x_{3}\in(2,x_{4})$$ मौजूद है जहाँ

$$f'(x_{3})=\frac{\sqrt3}{2}f(x_{4}),\quad\text{अर्थात्}\quad2f'(x_{3})=\sqrt3\,f(x_{4}).$$

इस प्रकार $$S_{2}$$ भी सत्य है।

दोनों कथन सत्य होने से विकल्प C सही है।

Hence, the correct answer is Option C.