The range of the function $$f(x) = \log_{\sqrt{5}}\left(3 + \cos\frac{3\pi}{4} + x + \cos\frac{\pi}{4} + x + \cos\frac{\pi}{4} - x - \cos\frac{3\pi}{4} - x\right)$$ is:

सबसे पहले हम दिए गये फलन को देख लेते हैं. प्रश्न में

$$$f(x)=\log_{\sqrt5}\Big(3+\cos\Big(\frac{3\pi}{4}+x\Big)+\cos\Big(\frac{\pi}{4}+x\Big)+\cos\Big(\frac{\pi}{4}-x\Big)-\cos\Big(\frac{3\pi}{4}-x\Big)\Big)$$$

लिखा है. हमारा लक्ष्य लॉगरिथम के अंदर वाले हिस्से (अर्थात् argument) को सरल करना है, ताकि हम उसका अधिकतम-न्यूनतम निकाल सकें.

सबसे पहले दो को-को जोड़ने तथा घटाने के सूत्र लिख लें, क्योंकि इन्हीं की मदद से सरलता आती है:

$$$\cos A+\cos B = 2\cos\!\Big(\frac{A+B}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{A-B}{2}\Big)$$$

$$$\cos A-\cos B = -2\sin\!\Big(\frac{A+B}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{A-B}{2}\Big)$$$

अब लॉगरिथम के अंदर वाले को हम दो हिस्सों में बाँटते हैं। पहला जोड़ा है $$\cos\!\Big(\frac{\pi}{4}+x\Big)+\cos\!\Big(\frac{\pi}{4}-x\Big)$$ और दूसरा जोड़ा है $$\cos\!\Big(\frac{3\pi}{4}+x\Big)-\cos\!\Big(\frac{3\pi}{4}-x\Big).$$

पहले जोड़े को सरल करना :

यहाँ $$A=\dfrac{\pi}{4}+x$$ तथा $$B=\dfrac{\pi}{4}-x$$ रखिये। ऊपर लिखा जोड़ का सूत्र लगाने पर

$$$\cos\!\Big(\frac{\pi}{4}+x\Big)+\cos\!\Big(\frac{\pi}{4}-x\Big)= 2\cos\!\Big(\frac{(\pi/4+x)+(\pi/4-x)}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{(\pi/4+x)-(\pi/4-x)}{2}\Big).$$$

सुधारें:

$$$=2\cos\!\Big(\frac{\pi/2}{2}\Big)\cos\!\Big(\frac{2x}{2}\Big) =2\cos\!\Big(\frac{\pi}{4}\Big)\cos x.$$$

क्योंकि $$\cos\frac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$, यह बन गया

$$2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\sqrt2\cos x.$$

दूसरे जोड़े को सरल करना :

यहाँ $$A=\dfrac{3\pi}{4}+x$$ तथा $$B=\dfrac{3\pi}{4}-x$$ हैं, और हमारे पास अंतर (minus) है, अतः अंतर वाले सूत्र का प्रयोग करें।

$$$\cos\!\Big(\frac{3\pi}{4}+x\Big)-\cos\!\Big(\frac{3\pi}{4}-x\Big)= -2\sin\!\Big(\frac{(3\pi/4+x)+(3\pi/4-x)}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{(3\pi/4+x)-(3\pi/4-x)}{2}\Big).$$$

सरल कीजिए :

$$$=-2\sin\!\Big(\frac{3\pi/2}{2}\Big)\sin\!\Big(\frac{2x}{2}\Big)= -2\sin\!\Big(\frac{3\pi}{4}\Big)\sin x.$$$

यहाँ $$\sin\frac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}$$, अतः

$$-2\cdot\frac{\sqrt2}{2}\sin x=-\sqrt2\sin x.$$

अब सारे हिस्से मिलाइए :

लॉगरिथम के अंदर वाला पूरा पद अब

$$$3+\bigl(\sqrt2\cos x\bigr)+\bigl(-\sqrt2\sin x\bigr) =3+\sqrt2(\cos x-\sin x).$$$

अर्थात् हमने प्राप्त किया

$$f(x)=\log_{\sqrt5}\Big(3+\sqrt2(\cos x-\sin x)\Big).$$

अब $$\cos x-\sin x$$ का मान-परिच्छेद (range) निकालें :

पहले याद रखें कि $$\cos x-\sin x$$ को हम एक ही कॉसाइन में बदल सकते हैं। सूत्र

$$\cos x-\sin x=\sqrt2\cos\Bigl(x+\frac{\pi}{4}\Bigr)$$

लागू करते हैं. $$\cos\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr)$$ का मान $$[-1,\,1]$$ के बीच रहता है, इसलिए

$$$-1\le \cos\Bigl(x+\frac{\pi}{4}\Bigr)\le 1\quad\Longrightarrow\quad -\sqrt2\le \cos x-\sin x\le\sqrt2.$$$

अब $$\sqrt2(\cos x-\sin x)$$ का मान

$$$-\sqrt2\cdot\sqrt2=-2\le \sqrt2(\cos x-\sin x)\le \sqrt2\cdot\sqrt2=2.$$$

इस परिणाम को constant ‘3’ के साथ जोड़ते हैं :

$$1\le 3+\sqrt2(\cos x-\sin x)\le 5.$$

अर्थात् लॉगरिथम के अंदर की quantity का मान ठीक $$[1,\,5]$$ के बंद अंतराल में रहता है. चूँकि $$1\gt 0$$, यह फलन अपने पूरे डोमेन $$x\in\mathbb R$$ पर परिभाषित है.

लॉगरिथम के मान परिच्छेद :

मूलाधार $$\sqrt5\;(=2.236\ldots)$$ एक से बड़ा है, इसलिए $$\log_{\sqrt5}y$$ एक बढ़ता (increasing) फलन है. अतः यदि $$y$$ का मान $$[1,\,5]$$ में है तो लॉगरिथम का मान ठीक-ठीक

$$\bigl[\log_{\sqrt5}1,\;\log_{\sqrt5}5\bigr]$$

में होगा.

परिभाषा से $$\log_{\sqrt5}1=0$$. अब $$\log_{\sqrt5}5$$ ज्ञात करते हैं :

$$\log_{\sqrt5}5=\frac{\ln5}{\ln\sqrt5} =\frac{\ln5}{\tfrac12\ln5}=2.$$

इस प्रकार लॉगरिथम का मान-परिच्छेद

$$[0,\,2]$$

मिलता है.

Hence, the correct answer is Option B.