$$\int \frac{2e^x+3e^{-x}}{4e^x+7e^{-x}} dx = \frac{1}{14}(ux + v\log_e(4e^x + 7e^{-x})) + C$$, where $$C$$ is a constant of integration, then $$u + v$$ is equal to _________.

हमारे पास समाकलन है

$$I=\int \frac{2e^{x}+3e^{-x}}{4e^{x}+7e^{-x}}\;dx.$$

सूत्र अपनायेंगे कि यदि किसी भिन्न के हर में का अवकलज कुछ नियत गुणांक के साथ हर में ही शामिल हो, तो अवकलन के अनुपात का लघुगणक बनता है। इसीलिए हम हर (denominator) को

$$D=4e^{x}+7e^{-x}$$

मान लेते हैं। तब

$$\frac{dD}{dx}=4e^{x}-7e^{-x}.$$

अब गिनितर (numerator) $$2e^{x}+3e^{-x}$$ को इस रूप में लिखने की कोशिश करते हैं―

$$2e^{x}+3e^{-x}=A\bigl(4e^{x}-7e^{-x}\bigr)+B\bigl(4e^{x}+7e^{-x}\bigr),$$

जिससे भिन्न को

$$\frac{A\,D'+B\,D}{D}=A\frac{D'}{D}+B$$

के सरल रूप में बदला जा सके।

गिनितर की बराबरी के लिए गुणांक मिलाते हैं। $$e^{x}$$ वाले पदों के लिए

$$4A+4B=2 \;\Longrightarrow\; A+B=\frac12,$$

और $$e^{-x}$$ वाले पदों के लिए

$$-7A+7B=3 \;\Longrightarrow\; -A+B=\frac37.$$

पहली और दूसरी समीकरण को जोड़ने पर

$$2B=\frac12+\frac37=\frac{7+6}{14}=\frac{13}{14}\;\;\Longrightarrow\;\;B=\frac{13}{28}.$$

अब $$A$$ निकालते हैं:

$$A=\frac12-B=\frac12-\frac{13}{28}=\frac{14-13}{28}=\frac1{28}.$$

इसीलिए

$$2e^{x}+3e^{-x}=A\,D'+B\,D=\frac1{28}D'+\frac{13}{28}D.$$

समाकलन अब सीधा हो जाता है:

$$I=\int\left(\frac{1}{28}\frac{D'}{D}+\frac{13}{28}\right)dx=\frac1{28}\int\frac{D'}{D}\,dx+\frac{13}{28}\int dx.$$

लघुगणक के समाकलन का सूत्र पहले लिखें: यदि $$\displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$$.\

इस सूत्र से

$$I=\frac1{28}\ln|D|+\frac{13}{28}x+C=\frac{1}{28}\ln\!\bigl(4e^{x}+7e^{-x}\bigr)+\frac{13}{28}x+C.$$

प्रश्न में दिया गया स्वरूप है

$$I=\frac1{14}\Bigl(ux+v\ln\!\bigl(4e^{x}+7e^{-x}\bigr)\Bigr)+C.$$

दोनो अभिव्यक्तियों की तुलना करने पर

$$\frac{u}{14}=\frac{13}{28}\;\;\Longrightarrow\;\;u=\frac{13}{2},$$

और

$$\frac{v}{14}=\frac{1}{28}\;\;\Longrightarrow\;\;v=\frac12.$$

अन्ततः

$$u+v=\frac{13}{2}+\frac12=\frac{14}{2}=7.$$

So, the answer is $$7$$.