The value of $$\frac{(\cos 9^\circ + \sin 81^\circ)(\sec 9^\circ + \cosec 81^\circ)}{\sin 56^\circ sec 34^\circ + \cos 25^\circ \cosec 65^\circ}$$ is:

$$\frac{(\cos 9^\circ + \sin 81^\circ)(\sec 9^\circ + \cosec 81^\circ)}{\sin 56^\circ sec 34^\circ + \cos 25^\circ \cosec 65^\circ}$$
= $$\frac{(\cos 9^\circ + \sin(90 - 9))(\sec 9^\circ + \cosec(90 - 9))}{\sin 56^\circ sec(90 - 56) + \cos 25^\circ \cosec(90 - 25)}$$
= $$\frac{(\cos 9^\circ + \cos 9^\circ)(\sec 9^\circ + \sec 9^\circ)}{\sin 56^\circ cosec 56^\circ + \cos 25^\circ \sec 25^\circ}$$
= $$\frac{(2\cos 9^\circ)(2 \sec 9^\circ)}{1 + 1}$$
= $$\frac{4}{2}$$ = 2