Let $$y = y(x)$$ be the solution of the differential equation $$(x - x^3)dy = (y + yx^2 - 3x^4)dx$$, $$x \gt 2$$. If $$y(3) = 3$$, then $$y(4)$$ is equal to:

हमारे पास अवकल समीकरण दिया हुआ है

$$ (x - x^3)\,dy = (y + yx^2 - 3x^4)\,dx ,\qquad x \gt 2 $$

इसे $$\dfrac{dy}{dx}$$ के रूप में लिखते हैं। दोनों पक्षों को $$dx\,(x - x^3)$$ से भाग देने पर

$$ \dfrac{dy}{dx} \;=\; \dfrac{y + yx^2 - 3x^4}{x - x^3} $$

हर एक पद को अलग करते हुए

$$ \dfrac{dy}{dx} \;=\; \dfrac{y(1 + x^2)}{x(1 - x^2)} \;-\; \dfrac{3x^3}{1 - x^2} $$

अब इसे रैखिक (linear) मानक रूप $$\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$$ में बदलने के लिए $$y$$ वाला पद बाएँ ले आते हैं—

$$ \dfrac{dy}{dx} \;-\; \dfrac{(1 + x^2)}{x(1 - x^2)}\,y \;=\; -\,\dfrac{3x^3}{1 - x^2}. $$

अतः

$$ P(x) = -\,\dfrac{1 + x^2}{x(1 - x^2)}, \qquad Q(x) = -\,\dfrac{3x^3}{1 - x^2}. $$

रैखिक अवकल समीकरण के हल के लिये सर्वज्ञात सूत्र है

$$ \text{IF} = e^{\displaystyle\int P(x)\,dx},\qquad y\cdot\text{IF}= \int \text{IF}\,Q(x)\,dx + C. $$

पहले समाकलन गुणांक (Integrating Factor) निकालते हैं:

$$ \text{IF}= \exp\!\Bigl(\int -\dfrac{1 + x^2}{x(1 - x^2)}\,dx\Bigr). $$

आवश्यक समाकलन करने हेतु हम भिन्नभेदी विभाजन (partial fraction) करते हैं।

द्विघात को इस प्रकार बाँटते हैं:

$$ \dfrac{1 + x^2}{x(1 - x^2)} \;=\; \dfrac{1}{x} + \dfrac{2x}{1 - x^2}. $$

अब समाकलन क्रमशः करते हैं

$$ \int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|, $$

तथा

$$ \int \dfrac{2x}{1 - x^2}\,dx. $$

यहाँ $$u = 1 - x^2$$ रखने से $$du = -2x\,dx$$ मिलता है, अतः

$$ \int \dfrac{2x}{1 - x^2}\,dx = -\int \dfrac{du}{u} = -\ln|u| = -\ln|1 - x^2|. $$

इस प्रकार

$$ \int -\Bigl[\dfrac{1}{x} + \dfrac{2x}{1 - x^2}\Bigr]dx = -\ln|x| + \ln|1 - x^2|. $$

घातांश लेते हैं:

$$ \text{IF} = e^{-\ln|x|+\ln|1 - x^2|} = \dfrac{|1 - x^2|}{|x|}. $$

क्योंकि $$x \gt 2$$ है, $$x$$ धनात्मक तथा $$1 - x^2$$ ऋणात्मक है, अतः $$|1 - x^2| = x^2 - 1$$। इसीलिए

$$ \text{IF} = \dfrac{x^2 - 1}{x}. $$

अब सूत्र का प्रयोग करते हैं:

$$ y\cdot\dfrac{x^2 - 1}{x} = \int \dfrac{x^2 - 1}{x}\;\Bigl(-\dfrac{3x^3}{1 - x^2}\Bigr)dx + C. $$

ध्यान दें कि $$1 - x^2 = -(x^2 - 1)$$, इसलिए

$$ -\dfrac{3x^3}{1 - x^2} = \dfrac{3x^3}{x^2 - 1}. $$

तब

$$ \dfrac{x^2 - 1}{x}\cdot\dfrac{3x^3}{x^2 - 1} = 3x^2. $$

अतः समाकलन अत्यंत सरल बनता है

$$ \int 3x^2\,dx = x^3 + C. $$

इस प्रकार

$$ y\cdot\dfrac{x^2 - 1}{x} = x^3 + C. $$

दोनों तरफ $$x$$ से भाग देते हुए

$$ y = \dfrac{x(x^3 + C)}{x^2 - 1}. $$

आरंभिक शर्त $$y(3) = 3$$ का प्रयोग करते हैं। $$x = 3$$ रखने पर

$$ 3 = \dfrac{3\bigl(3^3 + C\bigr)}{3^2 - 1} = \dfrac{3(27 + C)}{8}. $$

क्रॉस गुणन करने पर

$$ 3 \times 8 = 3(27 + C) \;\Longrightarrow\; 24 = 81 + 3C. $$

अब

$$ 3C = 24 - 81 = -57 \;\Longrightarrow\; C = -19. $$

मूल समीकरण में $$C = -19$$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$$ y = \dfrac{x\bigl(x^3 - 19\bigr)}{x^2 - 1}. $$

अब $$x = 4$$ रखने पर

$$ y(4) = \dfrac{4\bigl(4^3 - 19\bigr)}{4^2 - 1} = \dfrac{4(64 - 19)}{16 - 1} = \dfrac{4 \times 45}{15} = \dfrac{180}{15} = 12. $$

Hence, the correct answer is Option B.