Two poles $$AB$$ of length $$a$$ metres and $$CD$$ of length $$a + b$$ $$(b \neq a)$$ metres are erected at the same horizontal level with bases at $$B$$ and $$D$$. If $$BD = x$$ and $$\tan \angle ACB = \frac{1}{2}$$, then:

सबसे पहले भूमि को क्षैतिज रेखा मानते हुए बिन्दु $$B$$ को मूल (origin) पर ले लेते हैं। इस प्रकार

$$B \equiv (0,0)$$

चूँकि $$AB$$ लंबवत खम्भा है तथा $$AB = a$$ मीटर है, अतः शीर्ष $$A$$ का निर्देशांक होगा

$$A \equiv (0,a)$$

दूसरे खम्भे $$CD$$ का पाद $$D$$, $$B$$ से $$x$$ मीटर दूर है, अतः

$$D \equiv (x,0)$$

उस खम्भे की लम्बाई $$CD = a+b$$ दी हुई है, इसीलिए शीर्ष $$C$$ का निर्देशांक होगा

$$C \equiv (x,a+b)$$

अब हमें कोण $$\angle ACB$$ का tan ज्ञात करना है। इसके लिये हम बिन्दु $$C$$ से $$A$$ और $$B$$ की ओर जाने वाले सदिश लिखते हैं।

$$\overrightarrow{CA} = A - C = (0 - x,\, a - (a+b)) = (-x,\,-b)$$

$$\overrightarrow{CB} = B - C = (0 - x,\, 0 - (a+b)) = (-x,\,-(a+b))$$

कोई भी दो 2-D सदिश $$\mathbf{u}(u_x,u_y)$$ और $$\mathbf{v}(v_x,v_y)$$ के बीच के कोण $$\theta$$ के लिये सूत्र होता है

$$\tan\theta = \dfrac{|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}$$

जहाँ

$$\mathbf{u}\times \mathbf{v} = u_xv_y - u_yv_x \quad \text{और} \quad \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = u_xv_x + u_yv_y$$

यहाँ $$\mathbf{u} = \overrightarrow{CA}$$ तथा $$\mathbf{v} = \overrightarrow{CB}$$ हैं। अब तदनुसार गुणनफल निकालते हैं।

क्रॉस-गुणनफल

$$\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB} \;=\; (-x)\,[-(a+b)] \;-\; (-b)\,(-x) $$

$$= x(a+b) \;-\; bx = x\bigl[(a+b)-b\bigr] = xa$$

डॉट-गुणनफल

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} \;=\; (-x)(-x) + (-b)\,[-(a+b)] $$

$$= x^2 + b(a+b)$$

इस प्रकार

$$\tan\angle ACB = \dfrac{|\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}|}{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}} = \dfrac{ax}{x^2 + b(a+b)}$$

प्रश्न में $$\tan\angle ACB = \dfrac12$$ दिया है, अतः

$$\dfrac{ax}{x^2 + b(a+b)} = \dfrac12$$

अब क्रॉस-मल्टिप्लाइ करते हैं।

$$2ax = x^2 + b(a+b)$$

सभी पदों को एक ओर ले जाकर शून्य के बराबर करते हैं:

$$x^2 - 2ax + b(a+b) = 0$$

यही वांछित द्विघात संबंध है, जो विकल्प C में दिया गया है।

Hence, the correct answer is Option C.