The sum of all those terms which are rational numbers in the expansion of $$\left(2^{\frac{1}{3}} + 3^{\frac{1}{4}}\right)^{12}$$ is:

सबसे पहले हम उस दिये गये विस्तार $$\left(2^{\frac{1}{3}}+3^{\frac{1}{4}}\right)^{12}$$ पर द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) लगाते हैं।

द्विपद प्रमेय के अनुसार,

$$\left(a+b\right)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.$$

यहाँ $$a=2^{\frac{1}{3}},\; b=3^{\frac{1}{4}},\; n=12$$ हैं। अतः

$$\left(2^{\frac{1}{3}}+3^{\frac{1}{4}}\right)^{12} =\displaystyle\sum_{k=0}^{12}\binom{12}{k}\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^{12-k}\!\!\left(3^{\frac{1}{4}}\right)^{k}.$$

अब प्रत्येक पद को स्पष्ट रूप से लिखें। $$k$$-वाँ पद इस प्रकार होगा:

$$T_k=\binom{12}{k}\,2^{\frac{12-k}{3}}\;3^{\frac{k}{4}}.$$

हमें उन्हीं पदों का योग निकालना है जो पूरी तरह से सार्थक (rational) संख्या हों। किसी पद के सर्वथा घात $$2^{\text{(कुछ घात)}}$$ तथा $$3^{\text{(कुछ घात)}}$$ तभी घातांश पूर्णांक हों जब:

$$\frac{12-k}{3}\quad\text{एवं}\quad\frac{k}{4}\quad\text{दोनों पूर्णांक हों।}$$

तो दो शर्तें प्राप्त होती हैं:

$$12-k \equiv 0 \pmod{3}\quad\text{और}\quad k \equiv 0 \pmod{4}.$$

पहली शर्त 12 से घटाकर देखी जाती है, दूसरी शर्त 4 से भाज्यता की है। अब $$k$$ के संभावित मान 0 से 12 तक देखते हैं:

$$k=0,4,8,12$$ (क्योंकि $$k$$ को 4 का गुणज होना चाहिए)।

इनमें जाँचें कि $$12-k$$ को 3 से भाग देने पर शेष 0 आता है या नहीं:

$$k=0:\;12-0=12,\;12/3=4\;(\text{पूर्णांक})$$

$$k=4:\;12-4=8,\;8/3\;( \text{पूर्णांक नहीं})$$

$$k=8:\;12-8=4,\;4/3\;(\text{पूर्णांक नहीं})$$

$$k=12:\;12-12=0,\;0/3=0\;(\text{पूर्णांक})$$

अतः केवल $$k=0$$ और $$k=12$$ वाले पद ही घनात्मक रूप से पूर्णत: घात होंगे, अर्थात् ये दोनों पद ही नियत विशेषण में परिमेय (rational) निकलते हैं।

अब क्रमशः दोनों पदों का मान निकालें।

जब $$k=0$$, तब

$$T_0=\binom{12}{0}\,2^{\frac{12-0}{3}}\;3^{\frac{0}{4}} =1\cdot2^{4}\cdot3^{0} =2^{4}\cdot1 =16.$$

जब $$k=12$$, तब

$$T_{12}=\binom{12}{12}\,2^{\frac{12-12}{3}}\;3^{\frac{12}{4}} =1\cdot2^{0}\cdot3^{3} =1\cdot1\cdot27 =27.$$

अब इन दोनों परिमेय पदों का योग करें:

$$16+27=43.$$

इस प्रकार, उस विस्तार में उपस्थित सभी परिमेय पदों का योग $$43$$ है।

Hence, the correct answer is Option D.