The value of $$\int_{\frac{-1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2 + \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2 - 2\right)^{\frac{1}{2}} dx$$ is:

हम सर्वप्रथम नियतांक

$$I=\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\left[\left(\frac{x+1}{\,x-1\,}\right)^{2}+\left(\frac{x-1}{\,x+1\,}\right)^{2}-2\right]^{\frac12}\,dx$$

को सरल बनाते हैं।

सबसे पहले कोष्ठक के भीतर का पद विकसित करते हैं। हम जानते हैं कि यदि $$a=\dfrac{x+1}{x-1}$$ तो $$\dfrac{x-1}{x+1}=\dfrac1a$$ होगा। तब

$$\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2-2 =a^{2}+\frac1{a^{2}}-2.$$

सामान्य सूत्र $$(p-q)^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq$$ लगाने पर

$$a^{2}+\frac1{a^{2}}-2=\left(a-\frac1a\right)^{2}.$$

अतः मूल के अंदर का पूर्ण घन वर्ग प्राप्त हुआ, और

$$\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2-2\right]^{\frac12} =\Bigl|\,a-\dfrac1a\,\Bigr|.$$

अब $$a-\frac1a=\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1} =\frac{(x+1)^2-(x-1)^2}{x^{2}-1} =\frac{4x}{x^{2}-1}.$$

इस प्रकार, समाकलन फलन

$$\Bigl|\,a-\dfrac1a\,\Bigr|=\left|\frac{4x}{x^{2}-1}\right|.$$

दिये गये सीमाओं $$|x|<1$$ में हर बिन्दु पर भाजक $$x^{2}-1<0$$ रहता है। अतः

$$\left|\frac{4x}{x^{2}-1}\right| =\frac{4|x|}{1-x^{2}}.$$

यह फलन सम (even) है, अतः

$$I=2\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{4x}{1-x^{2}}\;dx =8\int_{0}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\frac{x}{1-x^{2}}\;dx.$$

अब प्रतिलोप परिवर्तन (substitution) लेते हैं।

मान लें $$u=1-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad du=-2x\,dx \;\Longrightarrow\;x\,dx=-\frac{du}{2}.$$

पुनः प्रतिस्थापन करने से

$$I=8\int_{x=0}^{x=1/\sqrt{2}}\frac{x}{1-x^{2}}\;dx =8\int_{u=1}^{u=1/2}\frac{-\frac{du}{2}}{u} =-4\int_{1}^{1/2}\frac{du}{u} =-4\Bigl[\ln|u|\Bigr]_{1}^{1/2}.$$

सीमाएँ रखने पर

$$I=-4\left(\ln\frac12-\ln1\right) =-4\left(-\ln2\right)=4\ln2 =\ln(2^{4})=\ln16.$$

अतः

$$\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2+\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2-2\right]^{\frac12}dx=\log_e16.$$

Hence, the correct answer is Option C.