Let $$f(x) = \cos\left(2\tan^{-1}\sin\left(\cot^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{x}}\right)\right)$$, $$0 \lt x \lt 1$$. Then:

हमारे पास

$$f(x)=\cos\!\left(2\tan^{-1}\!\Bigl[\sin\!\bigl(\cot^{-1}\sqrt{\tfrac{1-x}{x}}\bigr)\Bigr]\right), \qquad 0\lt x\lt 1.$$

सबसे पहले अंदर के कोण को सरल बनाते हैं।

मान लें

$$A=\cot^{-1}\sqrt{\frac{1-x}{x}}.$$

परिभाषा से $$\cot A=\sqrt{\dfrac{1-x}{x}}.$$

त्रिकोणमितीय अनुपातों के लिये एक समकोण त्रिभुज की कल्पना करते हैं:

Adjacent (आधार) = $$\sqrt{1-x}$$, Opposite (लंब) = $$\sqrt{x}$$, Hypotenuse = $$1$$ (क्योंकि $$\sqrt{1-x}^{\,2}+\sqrt{x}^{\,2}=1$$)।

इससे

$$\sin A=\frac{\text{Opposite}}{\text{Hypotenuse}}=\sqrt{x}.$$

अब

$$\sin\!\bigl(\cot^{-1}\sqrt{\tfrac{1-x}{x}}\bigr)=\sqrt{x}.$$

इसे दूसरी इन्वर्स-टैन फ़ंक्शन में रखते हैं:

$$B=\tan^{-1}(\sqrt{x}).$$

तो

$$f(x)=\cos\!\bigl(2B\bigr).$$

अब हम सूत्र प्रयोग करते हैं:

त्रिकोणमिति का सूत्र: $$\cos(2\theta)=\frac{1-\tan^{2}\theta}{1+\tan^{2}\theta}.$$

यहाँ $$\theta=B$$ तथा $$\tan B=\sqrt{x}\;\;\Longrightarrow\;\;\tan^{2}B=x.$$

सूत्र में रखने पर

$$f(x)=\frac{1-x}{1+x}.$$

यह अत्यन्त सरल रूप है, अब अवकलन निकालते हैं।

$$f(x)=\frac{1-x}{1+x}=(1-x)(1+x)^{-1}.$$

अभिप्रायन (quotient rule) या प्रत्यक्ष अवकलन से

$$f'(x)=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^{2}}=\frac{-2}{(1+x)^{2}}.$$

अब दिये गये विकल्पों के साथ जाँच करते हैं। विकल्प A का बाँयाँ पक्ष (LHS) है

$$(1-x)^{2}\,f'(x)+2\bigl(f(x)\bigr)^{2}.$$

पहला पद:

$$(1-x)^{2}f'(x)=(1-x)^{2}\left(\frac{-2}{(1+x)^{2}}\right)=\frac{-2(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}.$$

दूसरा पद:

$$2\bigl(f(x)\bigr)^{2}=2\left(\frac{1-x}{1+x}\right)^{2}=2\frac{(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}.$$

दोनों पदों को जोड़ने पर

$$\frac{-2(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}+\frac{2(1-x)^{2}}{(1+x)^{2}}=0.$$

अर्थात् विकल्प A का समीकरण पूर्णतया संतुष्ट होता है।

अन्य विकल्पों के साथ ऐसा नहीं होगा, अतः केवल विकल्प A सही है।

Hence, the correct answer is Option A.