$$\lim_{n \to \infty} \frac{(1^2 - 1)(n-1) + (2^2 - 2)(n-2) + \cdots + ((n-1)^2 - (n-1)) \cdot 1}{(1^3 + 2^3 + \cdots + n^3) - (1^2 + 2^2 + \cdots + n^2)}$$ is equal to :

General term:
$$(k^2-k)(n-k)=k(k-1)(n-k)$$

So numerator:
$$\sum_{k=1}^nk(k-1)(n-k)$$

Expand:
$$=\sum_{ }^{ }k(k-1)n-\sum_{ }^{ }k(k-1)k$$
$$=n\sum_{ }^{ }(k^2-k)-\sum_{ }^{ }(k^3-k^2)$$
$$=n\left(\sum_{ }^{ }k^2-\sum_{ }^{ }k\right)-\left(\sum_{ }^{ }k^3-\sum_{ }^{ }k^2\right)$$
=$$n\sum_{ }^{ }k^2-n\sum_{ }^{ }k-\sum_{ }^{ }k^3+\sum_{ }^{ }k^2$$
$$=(n+1)\sum_{ }^{ }k^2-n\sum_{ }^{ }k-\sum_{ }^{ }k^3$$

Denominator 

$$\sum_{ }^{ }k^3-\sum_{ }^{ }k^2$$

$$\sum_{ }^{ }k=\frac{n(n+1)}{2},\quad$$
$$\sum_{ }^{ }k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad$$
$$\sum_{ }^{ }k^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

$$(\sum_{ }^{ }k\sim\frac{n^2}{2})$$

$$(\sum_{ }^{ }k^2\sim\frac{n^3}{3})$$

$$(\sum_{ }^{ }k^3\sim\frac{n^4}{4})$$

Numerator leading term

$$(n+1)\frac{n^3}{3}-n\frac{n^2}{2}-\frac{n^4}{4}$$
$$\approx\frac{n^4}{3}-\frac{n^3}{2}-\frac{n^4}{4}$$

$$=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)n^4=\frac{1}{12}n^4$$

Denominator:

$$\frac{n^4}{4}-\frac{n^3}{3}\sim\frac{n^4}{4}$$

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{12}n^4}{\frac{1}{4}n^4}$$
$$=\frac{1/12}{1/4}$$
$$=\frac{1}{3}$$